李密写《陈情表》的原因主要是为了向晋武帝表达自己无法应召为官的苦衷，并请求允许他先尽孝后尽忠。《陈情表》的写作背景和原因可以从以下几个方面来理解：
1. 尽孝与尽忠的冲突：李密是蜀汉的遗臣，蜀汉灭亡后，晋武帝征召李密为官。然而，李密当时的情况是，他的祖母刘氏年老多病，需要他亲自照顾。在中国传统文化中，孝道是非常重要的价值观，李密认为尽孝是自己的首要责任。
2. 表达忠心：李密在《陈情表》中不仅要表达自己对祖母的孝心，还要向晋武帝表明自己的忠心。他需要在尽孝与尽忠之间找到一个平衡点，向皇帝解释自己无法立即应召的原因，并请求皇帝的理解和宽容。
3. 避免嫌疑：在当时的政治环境下，李密作为前朝遗臣，如果直接拒绝晋武帝的征召，可能会被怀疑有异心，甚至可能招致杀身之祸。因此，他通过写《陈情表》的方式来委婉地表达自己的困境，以避免引起不必要的误会。
4. 请求宽限：在《陈情表》中，李密请求晋武帝允许他先完成对祖母的孝道，等到祖母去世后再去朝廷尽忠。这是李密在尽孝与尽忠之间寻求的一种妥协。
5. 情感真挚：《陈情表》中李密对自己的家世、遭遇以及与祖母之间的深厚感情进行了详细的叙述，这些真挚的情感表达使得他的请求更加打动人心。
综上所述，李密写《陈情表》是为了在尽孝与尽忠之间做出选择，并向晋武帝表达自己的忠诚与孝心，同时请求皇帝的理解和宽限。